Algèbre linéaire Exemples

$[\begin{array}{c} - 3 & 4 \\ 1 & 2 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - 17 \\ 7 \end{array}]$

Step 1

Le noyau d’une transformation est un vecteur qui rend cette transformation égale au vecteur nul (la préimage de la transformation).

$[\begin{array}{c} - 17 \\ 7 \end{array}] = 0$

Step 2

Créez un système d’équations à partir de l’équation vectorielle.

$- 17 = 0$

$7 = 0$

Step 3

Ajoutez $17$ aux deux côtés de l’équation.

$0 = 17$

$7 = 0$

Step 4

Soustrayez $7$ des deux côtés de l’équation.

$0 = - 7$

$0 = 17$

Step 5

Écrivez le système d’équations sous forme de matrice.

$[\begin{array}{c} 17 \\ - 7 \end{array}]$

Step 6

Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite de la matrice.

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Réalisez l’opération ligne $R_{1} = \frac{1}{17} R_{1}$ sur $R_{1}$ (ligne $1$ ) afin de convertir certains éléments de la ligne en $1$ .

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Remplacez $R_{1}$ (ligne $1$ ) par l’opération ligne $R_{1} = \frac{1}{17} R_{1}$ afin de convertir des éléments de la ligne à la valeur souhaitée $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{17} R_{1} \\ - 7 \end{array}]$

$R_{1} = \frac{1}{17} R_{1}$

Remplacez $R_{1}$ (ligne $1$ ) par les valeurs réelles des éléments pour l’opération ligne $R_{1} = \frac{1}{17} R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} (\frac{1}{17}) \cdot (17) \\ - 7 \end{array}]$

$R_{1} = \frac{1}{17} R_{1}$

Simplifiez $R_{1}$ (ligne $1$ ).

$[\begin{array}{c} 1 \\ - 7 \end{array}]$

Réalisez l’opération ligne $R_{2} = 7 \cdot R_{1} + R_{2}$ sur $R_{2}$ (ligne $2$ ) afin de convertir certains éléments de la ligne en $0$ .

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Remplacez $R_{2}$ (ligne $2$ ) par l’opération ligne $R_{2} = 7 \cdot R_{1} + R_{2}$ afin de convertir des éléments de la ligne à la valeur souhaitée $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 \\ 7 \cdot R_{1} + R_{2} \end{array}]$

$R_{2} = 7 \cdot R_{1} + R_{2}$

Remplacez $R_{2}$ (ligne $2$ ) par les valeurs réelles des éléments pour l’opération ligne $R_{2} = 7 \cdot R_{1} + R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 \\ (7) \cdot (1) - 7 \end{array}]$

$R_{2} = 7 \cdot R_{1} + R_{2}$

Simplifiez $R_{2}$ (ligne $2$ ).

$[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array}]$

Step 7

Utilisez la matrice de résultat pour déclarer les solutions finales au système d’équations.

$0 = 1$

Step 8

Cette expression est l’ensemble de solutions pour le système d’équations.

${}$

Step 9

Décomposez un vecteur solution en réorganisant chaque équation représentée dans la matrice augmentée en ligne réduite en résolvant pour la variable dépendante sur chaque ligne pour obtenir l’égalité vectorielle.

$X = = [\begin{array}{c} 0 \end{array}]$

Step 10

L’espace nul de l’ensemble est l’ensemble de vecteurs créé à partir des variables libres du système.

${[\begin{array}{c} 0 \end{array}]}$

Step 11

Le noyau de $M$ est le sous-espace ${[\begin{array}{c} 0 \end{array}]}$ .

$K (M) = {[\begin{array}{c} 0 \end{array}]}$